ANAL1-VAK:Week2-1
From Kilalapedia
|
Introductie Frits
Lucy Schipper en Frits Spijkers.
Frits is een nieuwe docent bij ons. Heeft ook lesmateriaal voor deze cursus gemaakt. Lucy stelt'm voor. Frits geeft ook les in het voortgezet onderwijs.
Frits kan nog niet op Sharepoint. Het is nog even behelpen met de digitale sheets van deze cursus.
Opening
We beginnen enigszins ontspannen. Analyse is lastig genoeg: eigenlijk gaat het nergens over. Je bent met het wezen van wiskunde bezig, maar zonder context.
We hebben het over het leveren van bewijzen. Vertelt over Andrew Wiles en zijn veertig jaar durende werk om één specifieke stelling te bewijzen.
Bewijzen is niet alleen herkauwen, je hebt ook je eigen creativiteit nodig.
Presentie lijst
We hebben welgeteld 26 leerlingen in de klas. Wauw!
Kim Wind is gestopt met de opleiding. Het is best een verrassing voor de rest van de klas.
Tijdelijke website voor deze cursus
Frits heeft nog steeds geen Sharepoint toegang en heeft dus nog geen site voor de cursus kunnen maken. In de tussentijd kan de planning e.d. worden gevonden op de volgende site: http://www.math4all.nl/dox/HU-RekenenIsComplex.html
Bespreken planning en reader
De reader bestaat uit twee delen. We doorlopen beiden op een rustig tempo. We zullen redelijk wat tijd nodig hebben per onderdeel.
De eerste zes weken zijn lessen. De zevende les is een soort vragenuurtje.
Planning vandaag
We doorlopen opdrachten 1 t/m 5 samen in de les. Dit gaat over pagina's 33 t/m 39 van het Basis Wiskunde boek.
Lees vooral de pagina's theorie. Alle opgaven maken is wel leuk, maar is waarschijnlijk te veel werk als je het snapt. Is het te moeilijk voor je, maak er dan alsnog een paar.
Week 2
Opdrachten 6 t/m 10. Pagina's 4 t/m 9. Gaat over staartdelingen.
Rekenen is complex
Het heeft veel te maken met getallen en getalbegrip.
Eeuwen lang zijn getallen niet veel meer geweest dan optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Zeg maar "1 t/m veel". De pest met ons mensen is dat we gaan proberen van alles te doorgronden. Een stukje historische context kennen is erg handig als je het moet onderwijzen.
We zijn eeuwen lang met reëele getallen bezig geweest: alleen hele getallen, boven de nul. Het heeft heel lang geduurd voordat negatieve getallen gemeengoed werden. Zodra geldverkeer echt spannend werd (en de maatschappij er aan toe was) kwamen negatieve getallen echt op papier te staan.
De lol hier mee was dat er nieuwe regels moesten worden verzonnen die -wel- in de bestaande regels passen.
Al veel eerder kwamen ook verdelingen aan het licht. Want dat is nog veel lastiger dan negatieve getallen. Een groot deel van onze syllabus gaat over deelbaarheid: wat kan je delen en wat niet? Dat is eeuwen lang een heet hangijzer geweest. Zo ontstond aanvankelijk het "delen met een rest" (Euclides).
Op dat moment werd besloten om getallen vooral te representeren met lijnstukjes. Vandaar dat we tot 1900 veelal bezig waren met meetkunde :)
En zo kwamen we ook op Pythagoras uit! Want dat kenden ze al veel eerder! Ze konden zelf sqrt(2) construeren, maar tot hun verbijstering was dat niet eens een normaal getal. Geen breuk, geen heel getal? Wat de heck is het dan wel? En dus ging men er gewoon mee rekenen. Niemand op deze wereld weet exact wat sqrt(2) is, maar we hebben het maar gewoon aangenomen. We rekenen er maar gewoon mee :)
De getallenwereld bleef zich zo steeds verder verbreden.
Het laatste probleem: kwadraten met negatieve getallen als uitkomst. Wat doen we daar mee? En ook de wortels uit negatieve getallen? Zo heeft men nog meer regeltjes verzonnen. "Spelletjes" noemt Frits het.
Zo blijft zich dat uitbreiden, maar veel van de nieuwe regels vinden geen voet in de wiskunde. Die dwarrelen dus weer verder. Dit is ook het punt waar "Analyse 1" op houdt.
Wij gaan proberen te bewijzen dat bepaalde regels ook werkelijk waar zijn.
Opdracht 1: Getalverzamelingen
Natuurlijke getallen: 1 t/m groot. De "0" kwam er pas veel later bij. Komt van de Chinezen af. De Babyloniërs hadden een zestigtallig stelsel en deden niet aan "lege" tallen als 10, 20 enz. Het officiële teken is een N met een extra pootje :)
Gehele getallen: "Zahlen", de Z met een extra poot... Alle gehele getallen, ook negatief.
De volgende serie waar we mee aan de slag gaan: de breuken in de Rationale getallen -> verzameling Q. En omdat gehele getallen ook als breuk geschreven kunnen worden kunnen we stellen dat N en Z deelverzamelingen zijn van Q.
Q kan niet zomaar als reeks worden beschreven, puur alleen al omdat er een oneindig aantal breuken tussen 0 en 1 te bedenken is. Laat staan tussen de rest van de getallen. Dus verkiezen we het om zo te doen:
Als laatste voegen we allemaal vreemde getallen tegen die we wel zijn tegen gekomen, maar die niet normaal zijn te beschrijven. Denk aan de verzameling R (Reeële getallen) met e (contstante van Euler), wortels en Pi.
Op de middelbare school gaan we niet verder dan verzameling R. Daar buiten valt nog verzameling C; complexe getallen.
(Plaatje geleend van Maths Is Fun.com
Deel verzamelingen en elementen
- N is een deel van Z. Daar hebben we het tekentje voor dat lijkt op een C. Da's het teken voor een "deelverzameling".
- Het tekentje dat lijkt op een ronde E betekent dat een getal een "element" is van de genoemde verzameling.
- Je mag de C niet gebruiken voor bijv: {4} C N. Dat is niet waar, want {4} is een reeks, geen getal.
Antwoorden
a) Ja b) Nee c) Ja, want het is gewoon "4". d) Nee, dit is een notatiefout!
Opdracht 2: Even en oneven getallen
Men heeft geprobeerd om altijd regeltjes te verzinnen. Bijvoorbeeld, wat is een even getal? Zo kan je stellen dat je onomstotelijk kan bewijzen dat sommen met twee even getallen altijd resulteren in een nieuw even getal.
Voorbeeld 1
- Laat zien dat het kwadraat van een even getal altijd even is.
- Laat zien dat het kwadraat van een oneven getal altijde oneven is.
- Doe dit niet met voorbeelden, maar met onomstotelijk bewijs.
Even getallen:
Hoe ziet een even getal er uit? Als je het zou moeten beschrijven...
We weten 100% zeker dat voor een even getal de regel is: a = 2 n, met nEZ.
Hoe gaat dat met een kwadraat?
En dus is het een even getal: het is deelbaar door 2.
QED = Quot Errat Demonstratum = "Wat te bewijzen was"
Nu voor de oneven getallen:
Wat mij betreft: een getal dat niet geheel deelbaar is door 2.
Een oneven getal: b = 2n + 1, met nEZ.
Op het eind staat hier: 2 keer een geheel getal, plus 1. En dus is het weer bewezen. Hij haalt de twee buiten de haakjes om keihard de regel "2 keer een geheel getal, plus 1" te bewijzen.
We hebben het nu rekenkundig bewezen. Je mag het ook gewoon in een zin beredeneren :) De essentie hier is de losse "plus 1".
"0" tellen we als even getal. De enige discussie die mogelijk is over "0" is of het een priemgetal is :)
De woorden "open" en "gesloten" zijn nog niet gevallen. Een bewerking is "open" als een uitkomst uit een andere verzameling kan komen. Aftrekken is "open" als het gaat om twee natuurlijke getallen; we kunnen immers ook in Z uit komen. Zo gaat het ook met delen, ten opzichte van Z.
Opdracht 3
We maken deze thuis af. Deze opdracht is namelijk wat te lang om helemaal te doen. Frits wil graag wel alle vijf opdrachten bespreken namelijk.
Deze opgave gaat over deelbaarheid.
Een "deler" betekent dat X deelbaar is door de genoemde deler. Zo is 2 een gesloten deler voor 4 als het gaat om natuurlijke getallen.
Als we zeggen dat X een deler is van Y, dan gaan we automatisch uit van gehele getallen. Houdt dat in de gaten.
"2 is een deler van 6" => 2 | 6.
Het gesprek gaat heel even over schrijfconventies. De bovenstaande notatie is namelijk lang niet wereldwijd in gebruik. Zo komen we ook op "2log" en de decimale komma/punt.
Met het getal "n" duiden we vaak aan dat het om een geheel getal gaat.
We gaan deelbaarheid onderzoeken. Stel: we hebben een getal n, waarbij 2|n en 3|n. Bewijs nu maar eens dat 6|n ook zo is. Een bewijs als "2 x 3 = 6" is te kort door de bocht. Hoe bewijs je dus dat => 6|n ?
Mijn gekrabbel:
a = 2n x 3p, waarbij nEZ en pEZ Dat wordt weer: 2 x 3 x n
Frits' uitleg:
2|n => n = 2p => n = 2 x 3 x q 3 | n ---| Hij stelt hier, bij de middelste stap, dat n een deler is van p
Frits gebruikt andere letters, omdat je die liever niet opnieuw hergebruikt.
Olaf brengt de "kleinste gemene veelvoud" ter tafel. Die is erg interessant, maar je kan niet zomaar stellen dat de kleinste gemene veelvoud ook werkelijk een deler is. bijvoorbeeld, bij 2|n en 6|n is 12 geen deler van n. Dit komt ook bij opgave C aan het licht.
Om aan te tonen dat iets NIET klopt is één bewijs voldoende. Om te bewijzen dat iets WEL klopt moet je onomstotelijk aan de slag.
Opgave 3c
3|n en 8|n. Is 24|n ook waar?
Uitwerking:
3n => n = 3p => ??? 8|n -----| 8 is geen deler van 3, dus moet het een deler zijn van p.
Conclusie: Ik snap niet waarom de kleinste gemene veelvoud niet per sé mee doet.
Frits komt er tussendoor:
Bij opgave C zie je andere pijltjes staan dan die hij steeds heeft gebruikt. Er staat nu niet =>, maar <=>. Dat betekent niet dat uit A, B volgt. Dat betekent dat allebei de stellingen onlosmakelijk zijn verbonden! Je moet beide stellingen individueel bewijzen.
Opgaven 3C, 2
We doen voor:
2|n en 12| => 24|n 24|n => 2|n en 12|n De onderste kunnen we meteen bewijzen, omdat n deelbaar is door 24. n = 24p = 2 x 12 x p => 2"n en 12|n De bovenste gaat echter niet goed, want stel n = 12 => 2 en 12 zijn delers van 12. Maar 24 niet! Daarom is de hele stelling uit 3C2 fout.
De truc lijkt'm er in te zitten dat bij de ene B wel deelbaar is door A, en bij de andere niet.
Opgave 3d
Toon aan:
Methode A: het paardenmiddel
n is oneven => 2p
n is even => 2p+1 (denk aan opgave 1)
We doen alleen de oneven =>
En dat is inderdaad dus deelbaar door 2 :)
Zou de vraag zijn: "3 | ((n^2) - n), dan moet je drie berekeningen gaan doen. n = 3voud, n = 3voud+1, n = 3voud+2. Dat wordt op deze manier dus heel tijdrovend.
Methode B: ontbinden
n^2 - n = n (n -1) Je weet dat even en oneven getallen elkaar ALTIJD afwisselen. je ziet hier twee opeenvolgende getallen in een en dezelfde bewerking staan "n keer (n-1)". Eén van de twee getaleln is dus ALTIJD even. En uit een vermenigvuldiging van een even getal komt altijd een nieuw even getal. En die zijn ALTIJD deelbaar door 2 :) n is even => n ^2 -n = 2p (n-1) n-1 is even => n^2 -n = n (2q) De crux van deze uitwerking is dat je ziet dat je met twee opeenvolgende getallen werkt. In beide uitwerkingen zie je een deelbaarheid door 2 en dus is de stelling bewezen. Na het uitsplitsen is het dus zaak om met de erkende factoren aan de slag te gaan.
Uitwerkingen
Hans vraagt of er uitwerkingen in het boek staan. Frits waarschuwt dat je d'r niet naar moet kijken. Je mist namelijk de "klik" in je hoofd. Kijk pas als je een formulering hebt waar jij blij mee bent.
Opgave 5
Voorbeeld bij A.
a) 6,8,10
Bij opgave B gaan we de truc achter deze reeksen onderzoeken. De regel die daar staat is leuk maar we moeten nu aantonen dat deze regels altijd kloppen. Je kan gaan ontbinden. Je kan ook met de stelling van Pythagoras aan de slag. Stel dat "a^2 + b^2 = c^2".
Dit is een hele goede oefening in haakjes uitwerken :)
Volgende week
- Maak de opgaven die we niet hebben behandeld.
- Lees vooruit met de stof.
- Lees ook eens uit het Wiskunde Basisboek.
